Question

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A（-

2

，0）、B（

2

，0），离心率e=

2

2

．过该椭圆上任一点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，点C在QP的延长线上，且|PC|=（

2

-1）|PQ|．
（1）求椭圆的方程；
（2）求动点C的轨迹E的方程；
（3）设直线MN过椭圆的右焦点与椭圆相交于M、N两点，且|MN|=

8 2

7

，求直线MN的方程．

Answer 1

考点：圆锥曲线的轨迹问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用椭圆离心率的定义，求出几何量，即可求椭圆的方程；
（2）根据|PC|=（

2

-1）|PQ|，确定C，P坐标之间的关系，即可求动点C的轨迹E的方程；
（3）分类讨论，设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，计算弦长，根据|MN|=

8 2

7

，可求直线的斜率，从而可求直线MN的方程．

解答： 解：（1）由题意可得，a=

2

，
∵e=

2

2

，∴c=1，（2分）
∴b²=a²-c²=1，（3分）
所以椭圆的方程为

x2

2

+y2=1．                                  （4分）
（2）设C（x，y），P（x₀，y₀），由题意得

x=x0 y= 2 y0

，即

x0=x y0= y 2

，（6分）
代入椭圆得

x2

2

+

y2

2

=1，即x²+y²=2．
即动点的轨迹E的方程为x²+y²=2．  （8分）
（3）若直线MN的斜率不存在，则方程为x=1，所以|MN|=

2

≠

8 2

7

．（9分）
所以直线MN的斜率存在，设为k，直线MN的方程为y=k（x-1），
由

x2 2 +y2=1 y=k(x-1)

，得(

1

2

+k2)x2-2k2x+k2-1=0．（10分）
因为△=2（k²+1）＞0，所以x1，2=

4k2± 2k2+2

2(2k2+1)

．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

          （11分）
所以|MN|=

1+k2

×

(x1+x2)2-4x1x2

=

8 2

7

，
即

1+k2

×

16k4 (1+2k2)2 - 8k2-8 1+2k2

=

8 2

7

，（12分）
解得k=±

3

．（13分）
故直线MN的方程为y=

3

（x-1）或y=-

3

（x-1）（14分）

点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．