Question

已知向量

a

=（

3

cos

x

4

，cos²

x

4

），

b

=（2sin

x

4

，2），设函数f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且f（2B-

π

3

）=

3

+1，a=3，b=3

3

，求sinA的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理的应用

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（Ⅰ）利用向量的数量积公式，结合二倍角、辅助角公式化简函数，即可求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）先求出sinB，再利用正弦定理求sinA的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵向量

a

=（

3

cos

x

4

，cos²

x

4

），

b

=（2sin

x

4

，2），函数f（x）=

a

•

b

，
∴f（x）=2

3

cos

x

4

2sin

x

4

+2cos²

x

4

=

3

sin

x

2

+cos

x

2

+1=2sin（

x

2

+

π

6

）+1，
∴T=

2π

1 2

=4π；
（Ⅱ）∵f（2B-

π

3

）=

3

+1，
∴2sinB+1=

3

+1，
∴sinB=

3

2

，
∵a=3，b=3

3

，
∴由正弦定理可得sinA=

asinB

b

=

3× 3 2

3 3

=

1

2

．

点评：本题考查向量的数量积公式，考查三角函数的化简，考查正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确化简函数是关键．