Question

2．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=$\frac{3}{2}$n²+$\frac{7}{2}$n（n∈N^*），数列{b_n}是首项为4的正项等比数列，且2b₂，b₃-3，b₂+2成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）令c_n=a_n•b_n（n∈N^*），求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=$\frac{3}{2}$n²+$\frac{7}{2}$n（n∈N^*），得到a₁=S₁=5，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3n+2，由此能求出数列{a_n}的通项公式；由数列{b_n}是首项为4的正项等比数列，且2b₂，b₃-3，b₂+2成等差数列，利用等比数列通项公式、等差数列性质列出方程，求出公比，由此能求出数列{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）由c_n=a_n•b_n=（3n+2）•2ⁿ⁺¹=（6n+4）•2ⁿ，利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和．

解答 解：（Ⅰ）∵数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=$\frac{3}{2}$n²+$\frac{7}{2}$n（n∈N^*），
∴a₁=S₁=$\frac{3}{2}+\frac{7}{2}$=5，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（$\frac{3}{2}{n}^{2}+\frac{7}{2}n$）-[$\frac{3}{2}（n-1）^{2}+\frac{7}{2}（n-1）$]
=3n+2，
当n=1时，上式成立，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=3n+2．
∵数列{b_n}是首项为4的正项等比数列，且2b₂，b₃-3，b₂+2成等差数列，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2（4{q}^{2}-3）=2（4q）+4q+2}\\{q＞0}\end{array}\right.$，解得q=2．
∴数列{b_n}的通项公式b_n=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹．
（Ⅱ）∵c_n=a_n•b_n=（3n+2）•2ⁿ⁺¹=（6n+4）•2ⁿ，
∴数列{c_n}的前n项和：
T_n=10×2+16×2²+22×2³+…+（6n+4）×2ⁿ，①
2T_n=10×2²+16×2³+22×2³+…+（6n+4）×2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：
-T_n=20+6（2²+2³+…+2ⁿ）-（6n+4）×2ⁿ⁺¹
=20+6×$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（6n+4）×2ⁿ⁺¹
=-4-（6n-2）×2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（6n-2）×2ⁿ⁺¹+4．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，考查等差数列、等比数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．