Question

12．已知等比数列{a_n}满足a₂a₅=2a₃，且${a_4}，\frac{5}{4}，2{a_7}$成等差数列，则a₁•a₂•…•a_n的值为2${\;}^{\frac{1}{2}n（9-n）}$．

Answer 1

分析 等比数列{a_n}的公比设为q，运用等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，解方程可得公比q，可得等比数列的通项公式，再由指数的运算性质和等差数列的求和公式，计算即可得到所求．

解答 解：等比数列{a_n}的公比设为q，
a₂a₅=2a₃，且${a_4}，\frac{5}{4}，2{a_7}$成等差数列，
可得a₁²q⁵=2a₁q²，化为a₁q³=2，
即a₄=2，
又a₄+2a₇=$\frac{5}{2}$，
解得a₇=$\frac{1}{4}$，
即有q³=$\frac{{a}_{7}}{{a}_{4}}$=$\frac{1}{8}$，可得q=$\frac{1}{2}$，
则a_n=a₄q^n-4=2•（$\frac{1}{2}$）^n-4=2^5-n，
则a₁•a₂•…•a_n=2⁴•2³…2^5-n
=2^4+3+…+5-n=2${\;}^{\frac{1}{2}n（9-n）}$．
故答案为：2${\;}^{\frac{1}{2}n（9-n）}$．

点评 本题考查等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，考查方程思想和化简整理的运算能力，属于中档题．