Question

14．过点 M （0，1）且斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（ a＞0，b＞0）的两渐近线交于点 A，B，
且$\overline{BM}$=2$\overline{AM}$，则直线 l 的方程为y=x+1；如果双曲线的焦距为 2$\sqrt{10}$，则 b 的值为1．

Answer 1

分析 运用斜截式方程可得直线l的方程，设A（x₁，y₁）．B（x₂，y₂），由$\overline{BM}$=2$\overline{AM}$，可得点A、B的横坐标之间的关系； 再联立直线l的方程与双曲线渐近线方程，解方程可得x₁，x₂，化简整理可得a=3b，再由a，b，c关系，解方程可得b的值．

解答 解：设A（x₁，y₁）．B（x₂，y₂），
由$\overline{BM}$=2$\overline{AM}$，得x₂=2x₁．①，
由题得：直线方程为y=x+1，
$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
联立直线l方程和渐近线方程，解得x₁=-$\frac{a}{a+b}$，
x₂=$\frac{a}{b-a}$，
即有-$\frac{2a}{a+b}$=$\frac{a}{b-a}$，
化为a=3b，
由双曲线的焦距为 2$\sqrt{10}$，
可得a²+b²=c²=10，
即有10b²=10，
解得b=1．
故答案为：y=x+1，1．

点评 本题主要考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和基本量之间的关系，同时考查向量共线的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题．