Question

13．如图，要测量河对岸A、B两点之间的距离，选取相距$\sqrt{3}$km的C、D两点，并测得∠ACB=75°．∠BCD=∠ADB=45°，∠ADC=30°，请利用所测数据计算A、B之间的距离．

Answer 1

分析 在△ACD中利用正弦定理计算AD，在△BCD中利用正弦定理计算BD，在△ABD中利用余弦定理计算AB．

解答 解：在△ACD中，∠ACD=75°+45°=120°，∴∠CAD=30°，
由正弦定理得：$\frac{AD}{sin120°}$=$\frac{\sqrt{3}}{sin30°}$，解得AD=3，
在△BCD中，∠CDB=45°+30°=75°，∴∠CBD=60°，
由正弦定理得：$\frac{\sqrt{3}}{sin60°}$=$\frac{BD}{sin45°}$，解得BD=$\sqrt{2}$，
在△ABD中，由余弦定理得AB=$\sqrt{9+2-2×3×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了正余弦定理解三角形，属于基础题．