Question

已知如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是菱形，AC与BD的交点为O，SO⊥平面ABCD，E为侧棱SC上一个动点．
（1）求证：平面SAC⊥平面BDE；
（2）若E为SC的中点，求证：SA∥平面BDE；
（3）若E为SC的中点，AB=SO=a，∠BAD=60°，求三棱锥S-BDE的体积．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由SA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，知SA⊥BD，由底面ABCD为正方形，知BD⊥AC，由此能够证明面EBD⊥面SAC．
（2）要证明SA∥平面BDE，只需证明SA平行于平面BDE内的一条直线即可，而E为中点，所以连接AC、BD交于点O．由条件知道O为AC中点，从而EO为三角形SAC的中位线，从而得到SA∥OE，得证；
（3）由已知中E为SC的中点，AB=SO=a，∠BAD=60°，先求出三棱锥S-BDC的体积和三棱锥E-BDC的体积，相减可得答案．

解答： 证明：（1）∵SA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴SA⊥BD，
∵底面ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，
∵SA∩AC=A，
∴BD⊥平面SAC，
∵BD?平面EBD，
∴面EBD⊥面SAC．
（2）连接OE，

∵四边形ABCD是菱形，
∴O为AC的中点，
又∵E为SC的中点，
∴OE为三角形SAC的中位线，
∴SA∥OE，
又∵OE?面BDE，SA?面BDE，
∴SA∥平面BDE；
（3）∵AB=SO=a，∠BAD=60°，
∴S_△BCD=

1

2

BC•CD•sin60°=

3

4

a2，
∴三棱锥S-BDC的体积为：

1

3

×

3

4

a2×a=

3

12

a3，
∵E为SC的中点，
故三棱锥E-BDC的高为：

1

2

a，
故三棱锥E-BDC的体积为：

1

3

×

3

4

a2×

1

2

a=

3

24

a3，
故三棱锥S-BDE的体积V=

3

12

a3-

3

24

a3=

3

24

a3

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，考查棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，难度中档．