Question

已知函数f（x）=

a•3x x≤0 1 x -x x＞0

，若关于x的方程f[f（x）]=0有且仅有一解，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（-∞，0）
• B、（-∞，0）∪（0，1）
• C、（0，1）
• D、（0，1）∪（1，+∞）

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：分a=0、a＞0、a＜0三种情况讨论．
利用换元法设t=f（x），则方程等价为f（t）=0，作出函数f（x）的图象，利用数形结合即可得出．

解答： 解：（1）当a=0时，在x≤0的条件下，f（x）=0，此时方程f[f（x）]=0有无数解，不符合题意；
（2）当a＞0时，画此分段函数的图象：

设t=f（x），则f（t）=0，
c从图象上看，f（t）=0有唯一解，t=1，则f（x）=1，
要使方程有唯一解，∴a＜1．
∴0＜a＜1
（3）当a＜0时，画此分段函数的图象：

设t=f（x），则f（t）=0，
c从图象上看，f（t）=0有唯一解，t=1，则f（x）=1，
要使方程有唯一解，再从图象上看不管a取何值，f（x）=1只有一解，
∴a＜0
综上（1）（2）（3）：实数a的取值范围是（-∞，0）∪（0，1），
故选：B

点评：本题主要考查函数方程根的个数的应用，利用换元法，结合数形结合是解决本题的关键．