Question

已知函数f（x）=x+

1

x

．
（1）证明：f（x）在[1，+∞）上是增函数；
（2）求f（x）在[2，4]上的最值．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用定义证明单调性步骤：①取值、②作差、③变形、④判号、⑤下结论，进行证明；
（2）利用f（x）的单调性求出函数在已知区间上的最值．

解答： （1）证明：设x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=x1+

1

x1

-（x2+

1

x2

）=x1-x2+

x2-x1

x1x2

=

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

，
∵1≤x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，
∴x₁x₂-1＞0，则

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以y=f（x）在[1，+∞）上是增函数；
（2）解：由（1）知，函数f（x）在[2，4]上是增函数，
当x=2时，f（x）有最小值是f（2）=

5

2

，
当x=4时，f（x）有最大值是f（4）=

17

4

，
所以函数的最小值为

5

2

，最大值为

17

4

．

点评：本题考查了证明函数单调性的一种基本方法：定义法，以及利用函数的单调性求函数的最值，要熟练掌握定义证明单调性的步骤，其中变形最关键．