Question

8．已知函数f（x）=x²，g（x）=-1nx，g'（x）为g（x）的导函数．若存在直线l同为函数f（x）与g'（x）的切线，则直线l的斜率为（　　）

• A． $2\sqrt{5}-4$
• B． 2
• C． 4
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 分别设出直线l与两个函数所对应曲线的切点，求出切线方程，由两切线系数相等列式求出切点横坐标，则答案可求．

解答 解：由g（x）=-1nx，得g'（x）=-$\frac{1}{x}$，
设直线l与f（x）的切点为（${x}_{1}，{{x}_{1}}^{2}$），则f′（x₁）=2x₁，
∴直线l的方程为y-${{x}_{1}}^{2}=2{x}_{1}（x-{x}_{1}）$，即$y=2{x}_{1}x-{{x}_{1}}^{2}$；
再设l与g'（x）的切点为（${x}_{2}，-\frac{1}{{x}_{2}}$），则$g″（{x}_{2}）=\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$，
∴直线l的方程为$y+\frac{1}{{x}_{2}}=\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}（x-{x}_{2}）$，即$y=\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}x-\frac{2}{{x}_{2}}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{2{x}_{1}=\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}}\\{{{x}_{1}}^{2}=\frac{2}{{x}_{2}}}\end{array}\right.$，解得x₁=2．
∴直线l的斜率为2x₁=4．
故选：C．

点评 本题考查利用导数研究过去线上某点处的切线方程，函数在曲线上某点处的导数，就是函数在该点处的导数值，是中档题．