Question

已知2cosα+sinα=

5

．
（Ⅰ）求sinα的值；
（Ⅱ）若cos（α+β）=

- 10

10

，α，β均为锐角，求
（i）cosβ的值；   （ii）2α+β的值．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数,同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）由已知等式变形表示出sinα，代入sin²α+cos²α=1，求出cosα的值，即可求出sinα的值．
（Ⅱ）利用两角和差的余弦公式进行求解，注意要讨论角的范围．

解答： 解：（Ⅰ）由2cosα+sinα=

5

，得到sinα=

5

-2cosα  ①，
把①代入sin²α+cos²α=1，得：（

5

-2cosα）²+cos²α=1，
整理得：5cos²α-4

5

cosα+4=0，
即（

5

cosα-2）²=0，
解得：cosα=

2 5

5

，
则sinα=

5

-2×

2 5

5

=

5

5

．
（Ⅱ）∵cos（α+β）=

- 10

10

，α，β均为锐角，
∴sin（α+β）=

1-(- 10 10 )2

=

1- 10 100

=

3 10

10

，
则cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=

- 10

10

×

2 5

5

+

3 10

10

×

5

5

=

2

10

．
cos（2α+β）=cos[（α+β）+α]=cos（α+β）cosα-sin（α+β）sinα=

- 10

10

×

2 5

5

-

3 10

10

×

5

5

=-

2

2

．
∵α，β均为锐角，cosα=

2 5

5

＞

3

2

，∴0＜α＜

π

6

，
∵cos（α+β）=

- 10

10

∈（-

1

2

，0），
∴

π

2

＜α+β＜π，
∴

π

2

＜2α+β＜

7

6

π，
则2α+β=

3π

4

．

点评：本题主要考查三角函数值的计算，利用两角和差的余弦公式以及同角的三角函数的关系式是解决本题的关键．