Question

已知数列{a_n}的通项公式a_n=

1

2n-1

，试证明：1≤a₁+a₂+…+a_n＜2．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由a_n=

1

2n-1

≤

1

2n-1

，得a₁+a₂+…+a_n≤1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

=2-

1

2n-1

，由{2-

1

2n-1

}是增数列，能证明1≤a₁+a₂+…+a_n＜2．

解答： 证明：a_n=

1

2n-1

≤

1

2n-1

，
∴a₁+a₂+…+a_n≤1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

=

1- 1 2n

1- 1 2

=2-

1

2n-1

，
∵{2-

1

2n-1

}是增数列，
∴当n=1时，2-

1

2n-1

取最小值1，
∴1≤a₁+a₂+…+a_n＜2．

点评：本题考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意放缩法的合理运用．