Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜1）的三个相邻交点的横坐标分别为2，4，8，与直线y=-b的两个相邻交点的横坐标分别为x₁，x₂，若2＜x₁＜x₂＜8，则f（x₁）+f（x₂）的值为多少？

Answer 1

考点：正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：三角函数的图象与直线y=b（0＜b＜1）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，至少提供两个方面的信息：
1，第一个交点与第三个交点的差是一个周期；
2，第一个交点与第二个交点的中点的横坐标对应的函数值是最大值或最小值．
从这两个方面考虑可求得参数ω，φ．进而利用三角函数的单调性求区间．

解答： 解：与直线y=b（0＜b＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8
∵ω＞0，∴函数的周期为T=

2π

ω

=8-2，得?=

π

3

，
再由三角函数的图象与直线y=b（0＜b＜1）
知：2与4的中点必为函数的最大值的横坐标，
由五点法知

π

3

×3+φ=

π

2

得φ=-

π

2

，
故：f（x）=sin（

π

3

x-

π

2

），
所以可得，f（x₁）+f（x₂）的值为-2b．

点评：本题考查直线函数的图象与性质，正如华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．这题就充分体现了数形结合思想的重要性．