Question

已知函数f（x）=ax³+cx+d（a≠0）是R上的奇函数，当x=-1时，f（x）取得极值2，若对于任意x₁，x₂∈[-1，1]，不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤m恒成立，则实数m的最小值为

 

．

Answer 1

考点：函数在某点取得极值的条件

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：由奇函数的定义利用待定系数法求得d，再由x=-1时f（x）取得极值2．解得a，c从而确定函数，再利用导数求单调区间和极大值，f（x）=x³-3x（x∈[-1，1]）是减函数，从而确定|f（x₁）-f（x₂）|的最小值，即可得到m的范围，进而得到最小值．

解答： 解：由奇函数的定义，应有f（-x）=-f（x），x∈R
即-ax³-cx+d=-ax³-cx-d∴d=0，
因此，f（x）=ax³+cx，f'（x）=3ax²+c，
由条件f（-1）=2，为f（x）的极值，必有f'（-1）=0，
故

3a+c=0 -a-c=2

，解得a=1，c=-3
因此，f（x）=x³-3x，f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
f'（-1）=f'（1）=0
当x∈（-∞，-1）时，f'（x）＞0，故f（x）在单调区间（-∞，-1）上是增函数，
当x∈（-1，1）时，f'（x）＜0，故f（x）在单调区间（-1，1）上是减函数，
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，故f（x）在单调区间（1，+∞）上是增函数，
所以，f（x）在x=-1处取得极大值，极大值为f（-1）=2，
由于f（x）=x³-3x（x∈[-1，1]）是减函数，
且f（x）在[-1，1]上的最大值f（-1）=2，f（x）在[-1，1]上的最小值f（1）=-2，
所以，对任意的x₁，x₂∈[-1，1]，恒有|f（x₁）-f（x₂）|≤2-（-2）=4，
则m≥4，
即有m的最小值为4．
故答案为：4．

点评：本小题主要考查函数的单调性及奇偶性，考查运用导数研究函数单调性及极值等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．