Question

设函数f（x）=-cos²x-2t•sinx+2t²-6t+2（x∈R），其中t∈R，将f（x）的最小值记为g（x）
（1）求g（x）的表达式；
（2）关于t的函数y=g（t）与y=kt的图象在[-1，1]上有且仅有一个交点，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数的最值,三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：计算题,数形结合,函数的性质及应用,三角函数的求值

分析：（1）利用同角的平方关系化简函数的解析式为f（x）=（sinx-t）²+t²-6t+1．再分当t＜-1时、当-1≤t≤1时、当t＞1时三种情况，分别求得g（x）的解析式，可得结论．
（2）由题意可得函数g（t）的图象在区间[-1，1]上和直线y=kt只有一个交点，如图，求得OA的斜率，OC的斜率，可得k的范围．

解答： 解：（1）=sin²x-2tsinx+2t²-6t+1
=（sinx-t）²+t²-6t+1．
由于-1≤sinx≤1，
当t＜-1时，g（t）=（-1-t）²+t²-6t+1=2t²-4t+2；
当-1≤t≤1时，g（t）=t²-6t+1；
当t＞1时，g（t）=（1-t）²+t²-6t+1=2t²-8t+2．
综上可得，g（x）=

2x2-4x+2，x＜-1 x2-6x+1．-1≤x≤1 2x2-8x+2，x＞1

．
（2）当-1≤t≤1时，
要使关于t的方程g（t）=kt有且仅有一个实根，
则函数g（t）的图象（红线部分）在区间[-1，1]上
和直线y=kt（蓝线）只有一个交点，
如图所示：
再根据OA的斜率为

-4-0

1-0

=-4，
OC的斜率为

8-0

-1-0

=-8，
可得k≥-4，或 k≤-8．

点评：本题考查正弦函数的值域，主要考查二次函数的性质，方程根的存在性及个数判断，属于中档题和易错题．