Question

2．某学校有长度为14米的旧墙一面，现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为126m²的活动室，工程条件是：
①建1m新墙的费用为a元；
②修1m旧墙的费用是$\frac{a}{4}$元；
③拆去1m旧墙所得的材料，建1m新墙的费用为$\frac{a}{2}$元，经过讨论有两种方案：
（1）问如何利用旧墙的一段x米（x＜14）为矩形厂房的一面边长；
（2）矩形活动室的一面墙的边长x≥14，利用旧墙，即x为多少时建墙的费用最省？
（1）（2）两种方案，哪种方案最好？

Answer 1

分析 设利用旧墙的一面边长x米，则矩形另一边长为$\frac{126}{x}$米．然后对x分类求出总费用y关于x的函数式，通过最值之间的关系比较进行选择．

解答 解：设利用旧墙的一面边长x米，则矩形另一边长为$\frac{126}{x}$米．
（1）方案：当x＜14米时，修旧墙费用为x•$\frac{a}{4}$元，拆旧墙造新墙费用为（14-x）•$\frac{a}{2}$元，
其余新墙费用：（2x+$2×\frac{126}{x}$-14）•a元．
∴总费用y=7a（$\frac{x}{4}+\frac{36}{x}$-1）$≥7a•（2\sqrt{\frac{x}{4}•\frac{36}{x}}-1）=35a$（元），
当x=12时，y_min=35a元；
（2）方案：当x≥14米时，利用旧墙费用为14•$\frac{a}{4}$=$\frac{7a}{2}$元，建新墙费用为（2x+$2×\frac{156}{x}$-14）a元
∴总费用为：y=2a（x+$\frac{126}{x}$）-$\frac{21}{2}$a（元），
设f（x）=x+$\frac{126}{x}$（x≥14），则f′（x）=1-$\frac{126}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-126}{{x}^{2}}$，
当x≥14时，f'（x）＞0，f（x）为增函数，
∴f（x）_min=f（14）=35.5a元．
由35a＜35.5a，可知采用（1）方案更好些．
答：采用（1）方案更好些

点评 本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用基本不等式及导数求最值，是中档题．