Question

11．已知圆C：（x-1）²+y²=9，点B（-4，0），若存在不同于点B的定点A，对于圆C任意一点P到定点A和点B的距离比为一个常数，则此常数值为$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 利用圆的定义，设出A，通过$\frac{PA}{PB}=λ$为一常数这一条件，以及P在圆上，列出关系，利用恒成立，可以求得结果．

解答 解：由圆的定义可知，存在这样的点A（t，0），存在不同于点B的定点A，对于圆C任意一点P到定点A和点B的距离比为一个常数，即使得$\frac{PA}{PB}$为常数λ，则PA²=λ²PB²，
∴（x-t）²+y²=λ²[（x+4）²+y²]，即：（λ²-1）x²+（λ²-1）y²+（8λ²+2t）x+16λ²-t²=0，
圆C：（x-1）²+y²=9，可得：x²+y²-2x-8=0，
可得$\left\{\begin{array}{l}{{λ}^{2}-1=h}\\{8{λ}^{2}+2t=-2h}\\{16{λ}^{2}-{t}^{2}=-8h}\end{array}\right.$，
解得：t=-4（舍去）或t=-$\frac{4}{5}$．
λ=$\frac{3}{5}$．
则此常数值为：$\frac{3}{5}$．
故答案为：$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查直线和圆的方程的应用，圆的切线方程，又是存在性和探究性问题，恒成立问题，考查计算能力．是难题．