Question

13．若变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{y≤x}\\{x+y≤2}\\{y≥-1}\end{array}\right.$，则$\frac{y-2}{x-4}$的取值范围是（　　）

• A． [0，3]
• B． [$\frac{1}{3}$，3]
• C． [$\frac{4}{3}$，4]
• D． [$\frac{1}{3}$，2]

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义结合直线的斜率公式进行求解即可．

解答 解：作出变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{y≤x}\\{x+y≤2}\\{y≥-1}\end{array}\right.$，对应的平面区域，
z=$\frac{y-2}{x-4}$的几何意义是区域内的点到定点D（4，2）的斜率，
由图象知DA的斜率最大，DB的斜率最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=2}\\{y=-1}\end{array}\right.$解得A（3，-1），由$\left\{\begin{array}{l}{x=y}\\{x+y=2}\end{array}\right.$解得B（1，1）
∴z的最大值为z=$\frac{-1-2}{3-4}$=3，z的最小值为z=$\frac{1-2}{1-4}$=$\frac{1}{3}$，
则$\frac{y-2}{x-4}$的取值范围是的取值范围是[$\frac{1}{3}$，3]，
故选：B．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率的几何意义以及数形结合是解决本题的关键．