Question

12．已知球内接四棱锥P-ABCD的高为3，AC，BC相交于O，球的表面积为$\frac{169π}{9}$，若E为PC中点．
（1）求证：OE∥平面PAD；
（2）求二面角A-BE-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由O，E分别是CA，CP的中点，得OE∥AP，即可得OE∥平面PAD．
（2）由球的表面积公式S=4πR²，得球的半径$R=\frac{13}{6}$，设球心为O₁，在正四棱锥P-ABCD中，高为PO，则O₁必在PO上，连AO₁，在Rt△O₁OA，可得OA=2，设OA，OB，OP为x，y，z轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系O-xyz系，得P（0，0，3），A（2，0，0），B（0，2，0），C（-2，0，0），D（0，-2，0），PC中点$E（-1，0，\frac{3}{2}）$，利用向量法求解．

解答 解：（1）证明：由O，E分别是CA，CP的中点，得OE∥AP，
且满足OE?平面PAD，AP?平面PAD，所以OE∥平面PAD．
（2）由球的表面积公式S=4πR²，得球的半径$R=\frac{13}{6}$，
设球心为O₁，在正四棱锥P-ABCD中，高为PO，则O₁必在PO上，
连AO₁，则${O_1}O=\frac{5}{6}，A{O_1}=\frac{13}{6}$，
则在Rt△O₁OA，则$OO_1^2+O{A^2}={O_1}{A^2}$，即OA=2，
在正四棱锥P-ABCD中，PO⊥平面ABCD于O，且AC⊥BD于O，
设OA，OB，OP为x，y，z轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系O-xyz系，
得P（0，0，3），A（2，0，0），B（0，2，0），C（-2，0，0），D（0，-2，0），PC中点$E（-1，0，\frac{3}{2}）$，
所以$\overrightarrow{AB}=（-2，2，0），\overrightarrow{DE}=（-1，-2，\frac{3}{2}），\overrightarrow{DC}=（-2，-2，0）$，
设$\overrightarrow m=（a，b，c），\overrightarrow n=（x，y，z）$分别是平面ABE和平面CBE的法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow m•\overrightarrow{AB}=-2a+2b=0\\ \overrightarrow m•\overrightarrow{BE}=-a-2b+\frac{3}{2}c=0\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{BC}=-2x-2y=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{BE}=-x-2y+\frac{3}{2}z=0\end{array}\right.$，
可得$\overrightarrow m=（1，1，2），\overrightarrow n=（-3，3，2）$，则$cos\left?{\overrightarrow m，\overrightarrow n}\right＞=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{{|{\overrightarrow m}|•|{\overrightarrow n}|}}=\frac{4}{{\sqrt{6}•\sqrt{22}}}=\frac{{2\sqrt{33}}}{33}$，
由图可知，二面角A-BE-C的大小为钝角，
所以二面角A-BE-C的余弦值为$-\frac{{2\sqrt{33}}}{33}$．

点评 本题考查了球的组合体、空间线面位置关系，考查了向量法求二面角，属于中档题．