Question

有下列命题：
①函数y=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）的图象中，相邻两个对称中心的距离为π；
②函数y=

x+3

x-1

的图象关于点（1，1）对称；
③关于x的方程ax²-2ax-1=0有且仅有一个零点，则实数a=-1；
④已知命题p：对任意的x＞1，都有sinx≤1，则?p：存在x≤1，使得sinx＞1．
其中所有真命题的序号是（　　）

• A、①②
• B、②③
• C、③④
• D、②③④

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①利用积化和差公式可得y=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）=

1

2

cos2x，从而可得其周期为π，相邻两个对称中心距离为

π

2

，可判断①；
②y=

x+3

x-1

=1+

4

x-1

，所以函数的对称中心为（1，1），可判断②；
③分a=0与a≠0讨论，可判断③；
④当全称命题变为非命题时，全称量词改成特称量词，可判断④．

解答： 解：①y=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）=

1

2

[cos2x+cos（-

π

2

）]=

1

2

cos2x，所以函数的周期为π，相邻两个对称中心距离为

π

2

，所以命题①不正确．
②y=

x+3

x-1

=1+

4

x-1

，所以函数的对称中心为（1，1），命题正确．
③当a=0时，不成立，当a≠0时，△=0，可得a=-1或a=0（舍），所以命题正确．
④当全称命题变为非命题时，全称量词改成特称量词，所以非p应该为，存在x＞1，使得sinx＞1，所以④不正确．
故选：B．

点评：本题考查三角函数的图象及对称性、周期性，考查函数的零点及全程命题与特称命题，属于中档题．