Question

已知函数f（x）=

3

sin2x+2cos²x
（1）求f（

4π

3

）的值；
（2）已知x∈[0，

π

2

]，求函数f（x）的值域；
（3）若α∈（0，

π

4

），β∈（

π

2

，π）且f（

a

2

）=

11

5

，f（

α+β

2

）=

23

13

，求sinβ的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式为f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，从而求得f（x）的解析式，进而求得f（

4π

3

）的值．
（2）根据已知x∈[0，

π

2

]，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的值域．
（3）先求出cos（α+

π

6

）=

4

5

．sin（α+β+

π

6

）=

5

13

．故有

3

5

cosβ+

4

5

sinβ=

5

13

．β∈（

π

2

，π），sinβ＞0，故可解得sinβ的值为

56

65

．

解答： 解：（1）函数f（x）=

3

sin2x+2cos²x=

3

sin2x+cos2x+1=2sin（2x+

π

6

）+1．
∴f（

4π

3

）=2sin

17π

6

+1=2sin

5π

6

+1=1+1=2．     
（2）已知x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]．
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，∴f（x）∈[0，3]．
（3）f（

a

2

）=2sin（α+

π

6

）+1=

11

5

，∴sin（α+

π

6

）=

3

5

．若α∈（0，

π

4

），α+

π

6

∈（

π

6

，

5π

12

），cos（α+

π

6

）=

4

5

．
f（

α+β

2

）=2sin（α+β+

π

6

）+1=

23

13

，∴sin（α+β+

π

6

）=

5

13

．
故有

3

5

cosβ+

4

5

sinβ=

5

13

．
β∈（

π

2

，π），sinβ＞0，cosβ＜0，
令sinβ=A，则有

3

5

1-A2

+

4

5

A=

5

13

．
解得，A=

56

65

或者-

16

65

（舍去）．
故sinβ的值为

56

65

．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．