Question

已知直线L：（a²+1）x+2ay+1=0（a＞0），求直线斜率和倾斜角的取值范围．

Answer 1

考点：直线的斜率,直线的倾斜角

专题：直线与圆

分析：由于a＞0，可得直线L：（a²+1）x+2ay+1=0（a＞0）变为y=-

a2+1

2a

x-

1

2a

．设直线的倾斜角为α（α∈[0，π）），则tanα=-

a2+1

2a

≤-

2a

2a

=-1．再利用正切函数的单调性即可得出．

解答： 解：∵a＞0，
∴直线L：（a²+1）x+2ay+1=0（a＞0）变为y=-

a2+1

2a

x-

1

2a

．
设直线的倾斜角为α（α∈[0，π））．
则tanα=-

a2+1

2a

≤-

2a

2a

=-1．当且仅当a=1时取等号．
∴α∈(

π

2

，

3π

4

]．
∴直线斜率和倾斜角的取值范围分别为（-∞，-1]，(

π

2

，

3π

4

]．

点评：本题考查了直线的斜率与倾斜角的关系、基本不等式的性质、正切函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．