Question

已知数列{a_n}满足：s_n+a_n=2-2^1-n（n为正整数）．
（1）令b_n=2ⁿa_n，求证数列{b_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）令c_n=

n+1

n

a_n，T_n=c₁+c₂+…+c_n，证明1≤T_n＜3．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出2ⁿ•a_n=2^n-1•a_n-1+1，由bn=2nan，得b_n=b_n-1+1，所以数列{b_n}是等差数列，并能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由c_n=

n+1

n

a_n=（n+1）（

1

2

）ⁿ，利用错位相减法得T_n=3-

n+3

2n

，由此能证明1≤T_n＜3．

解答： （1）解：s_n+a_n=2-2^1-n令n=1，得S₁=-a₁-1+2=a₁，解得a₁=

1

2

，
当n≥2时，S_n-1+a_n-1=2-（

1

2

）^n-2，
∴a_n=s_n-s_n-1=-a_n+a_n-1+(

1

2

)n-2-(

1

2

)n-1
∴2a_n=a_n-1+(

1

2

)n-1，即2ⁿ•a_n=2^n-1•a_n-1+1，
∵b_n=2ⁿ•a_n，∴b_n=b_n-1+1，
即当n≥2时，b_n-b_n-1=1，
又b₁=2a₁=1，
∴数列{b_n}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴b_n=2ⁿ•a_n=1-（n-1）×1=n，
∴a_n=

n

2n

．
（2）证明：由（Ⅰ）得c_n=

n+1

n

a_n=（n+1）（

1

2

）ⁿ，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=2×

1

2

+3×(

1

2

)2+…+（n+1）（

1

2

）ⁿ，

1

2

T_n=2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+n•(

1

2

)n+（n+1）（

1

2

）ⁿ⁺¹，
两式相减，得：

1

2

T_n=1+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-（n+1）（

1

2

）ⁿ⁺¹=1+

1 4 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-（n+1）（

1

2

）ⁿ⁺¹=

3

2

-

n+3

2n+1

，
∴T_n=3-

n+3

2n

．
∴T_n＜3，又c_n＞0，∴T_n递增，T_n≥T₁=1，
∴1≤T_n＜3．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．