Question

已知二次函数f（x）是定义在R上的偶函数，且关于x的不等式f（x）＜4x的解集为{x|1＜x＜3}．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设F（x）=f（x）+bx，且当x∈[-1，2]时，函数F（x）的最小值为1，求实数b的值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（I）不等式f（x）＜4x的解集为{x|1＜x＜3}，则a＞0且x₁=1，x₂=3是方程f（x）-4x=0的两根，结合二次函数f（x）是定义在R上的偶函数和韦达定理，分别求出各项系数，可得f（x）的解析式；
（Ⅱ）分析函数F（x）=f（x）+bx的图象，并分类讨论区间[-1，2]与函数对称轴的关系，可得到x∈[-1，2]时，函数的单调性及最小值，进而求出相应的b值．

解答： 解：（I）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由f（x）是偶函数知f（x）的图象关于y轴对称，
则-

b

2a

=0，即b=0，故f（x）=ax²+c．…（1分）
∵不等式f（x）＜4x的解集为{x|1＜x＜3}，
∴a＞0且x₁=1，x₂=3是方程f（x）-4x=0即ax²-4x+c=0的两根．
由韦达定理，得

1+3= 4 a 1×3= c a

，
解得：a=1，c=3．…（5分）
∴f（x）=x²+3．…（6分）
（II）由（ I）知，F(x)=x2+bx+3=(x+

b

2

)2+3-

b2

4

，对称轴x=-

b

2

．…（7分）
下面分类讨论：
①当-

b

2

≥2，即b≤-4时，F（x）在[-1，2]上为减函数，
∴F（x）_min=F（2）=2b+7=1，得b=-3（舍去）．…（9分）
②当-

b

2

∈(-1，2)，即-4＜b＜2时，F(x)min=F(-

b

2

)=-

b2

4

+3=1，
∴b=-2

2

或b=2

2

（舍去）．…（11分）
③当-

b

2

≤-1，即b≥2时，F（x）在[-1，2]上为增函数，
∴F（x）_min=F（-1）=4-b=1，得b=3．…（13分）
综上所述，b=-2

2

或b=3为所求．…（14分）

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，偶函数的性质，不等式解集与函数的零点及方程根的关系，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．