Question

已知函数f（x）=log₂（x+a）．
（1）若0＜f(1-2x)-f(x)＜

1

2

，当a=1时，求x的取值范围；
（2）若定义在R上奇函数g（x）满足g（x+2）=-g（x），且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求g（x）在[-3，-2]上的反函数h（x）；
（3）若关于x的不等式f(tx2-a+1)+f(

1

5-2x

-a)＞0在区间[

1

2

，2]上有解，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据对数函数的真数部分大于0，及对数的运算性质，可将不等式0＜f(1-2x)-f(x)＜

1

2

，化为1＜

2-2x

x+1

＜

2

且2-2x＞0且x+1＞0，解不等式组可得x的取值范围；
（2）函数g（x）满足g（x+2）=-g（x），表示函数的周期为4，结合函数g（x）为奇函数，可求出x∈[-3，-2]时，函数g（x）的解析式，进而得到其反函数；
（3）利用对数函数的单调性及对数的运算性质，可将不等式f(tx2-a+1)+f(

1

5-2x

-a)＞0化为log2(tx2+1)＞log2(5-2x)，即tx²＞4-2x，进而将其转化为最值问题，结合二次函数的图象和性质，可得实数t的取值范围

解答： 解：（1）原不等式可化为0＜log2(2-2x)-log2(x+1)＜

1

2

…（1分）
所以1＜

2-2x

x+1

＜

2

且2-2x＞0且x+1＞0…（2分）
得3-2

2

＜x＜

1

3

…（2分）
（2）因为g（x）是奇函数，所以g（0）=0，得a=1…（1分）
当x∈[-3，-2]时，-x-2∈[0，1]g（x）=-g（x+2）=g（-x-2）=log₂（-x-1）…（2分）
此时g（x）∈[0，1]，x=-2^g（x）-1，所以h（x）=-2^x-1（x∈[0，1]）…（2分）
（3）由题意log2(tx2+1)+log2

1

5-2x

＞0，…（1分）
即log2(tx2+1)＞log2(5-2x)…（1分）
所以不等式tx²＞4-2x在区间[

1

2

，2]上有解，
即t＞(

4

x2

-

2

x

)min=0…（3分）
所以实数t的取值范围为（0，+∞）…（1分）

点评：本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，函数的奇偶性，函数的周期性，函数的单调性，反函数，对数的运算性质，存在性问题，函数的最值，是函数图象和性质较为综合的应用，难度较大．