Question

已知函数f（x²-1）=log_m

x2

2-x2

（1）求f（x）的解析式并判断f（x）的奇偶性；
（2）解关于x的不等式f（x）≥0．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,指、对数不等式的解法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用换元法以及函数奇偶性的定义即可求f（x）的解析式并判断f（x）的奇偶性；
（2）利用对数函数的性质即可解不等式f（x）≥0．

解答： 解：（1）设x²-1=t（t≥-1），则x²=t+1，f(t)=logm

1+t

1-t

，t∈(-1，1)，
∴f(x)=logm

1+x

1-x

，x∈(-1，1)…（3分）
设x∈（-1，1），则-x∈（-1，1），
∴f(-x)=logm

1+(-x)

1-(-x)

=-logm

1+x

1-x

=-f(x)，
∴f（x）为奇函数…（6分）
（2）由logm

1+x

1-x

≥0(*)可知
当m＞1时，（*）可化为

1+x

1-x

≥1，化简得：

x

x-1

≤0，解得：0≤x＜1；…（9分）
当0＜m＜1时，（*）可化为0＜

1+x

1-x

≤1，
此不等式等价于不等式组

1+x 1-x ≤1 1+x 1-x ＞0

，
解此不等式组得

x＞1或x≤0 -1＜x＜1

，∴-1＜x≤0…（13分）
∴当m＞1时，不等式组的解集为{x|0≤x＜1}
当0＜m＜1时，不等式组的解集为{x|-1＜x≤0}…（14分）

点评：本题主要考查函数解析式的求解以及函数奇偶性的判断，根据对数函数的性质是解决本题的关键．