Question

已知：

m

=（2cosωx，sinωx），

n

=（sin（ωx+

π

2

），2

3

cosωx），且f（x）=

m

•

n

+t-1，若f（x）的图象上两个最高点的距离为3π，且当0＜x＜π时，函数f（x）的最小值为0．求表达式．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：首先利用向量的数量积运算得到f（x）的解析式，然后利用倍角公式化简三角函数式，利用三角函数性质求参数．

解答： 解：由已知f（x）=

m

•

n

+t-1=2cosωxsin（ωx+

π

2

）+sinωx2

3

cosωx+t-1
=2cosωxcosωx+sinωx2

3

cosωx+t-1
=2cos²ωx+

3

sin2ωx+t-1
=cos2ωx+

3

sin2ωx+t
=2sin（2ωx+

π

6

）+t，
因为f（x）的图象上两个最高点的距离为3π，所以f（x）的周期为3π，所以ω=

1

3

，所以f（x）=2sin（

2

3

x+

π

6

）+t，
且当0＜x＜π时，函数f（x）的最小值为0，所以（

2

3

x+

π

6

）∈（

π

6

，

5π

6

），f（x）=2sin（

2

3

x+

π

6

）+t的最小值为

1

2

+t=0，所以t=-

1

2

，
所以f（x）=2sin（

2

3

x+

π

6

）-

1

2

．

点评：本题考查了向量数量积公式的运用以及三角函数解析式的化简，运用了倍角公式等等价变换．