Question

已知函数f（x）=log₂（1+x）+alog₂（1-x）为奇函数，解不等式：f^-1（x）＜

1

2

．

Answer 1

考点：指、对数不等式的解法,函数奇偶性的判断,反函数

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：求出定义域，再由奇函数的定义，可得f（-x）+f（x）=0，可得a=-1，再由反函数的求法，求得f^-1（x）=

2x-1

2x+1

，再由指数函数的单调性，即可解出不等式．

解答： 解：由1-x＞0，且1+x＞0，
可得-1＜x＜1，
即定义域为（-1，1），
由f（x）为奇函数，
则f（-x）+f（x）=0，
即log₂（1-x）+alog₂（1+x）+log₂（1+x）+alog₂（1-x）=0，
即log₂（1-x²）+alog₂（1-x²）=0，
即有a=-1，
则f（x）=log₂（1+x）-log₂（1-x）=log₂

1+x

1-x

由

1+x

1-x

=2^y，解得x=

2y-1

2y+1

，
则有f^-1（x）=

2x-1

2x+1

，
则f^-1（x）＜

1

2

即为

2x-1

2x+1

＜

1

2

，
即1-

2

2x+1

＜

1

2

，即2^x＜3，
解得x＜log₂3．
则解集为（-∞，log₂3）．

点评：本题考查函数的奇偶性的运用，考查反函数的求法及指数不等式的解法，考查指数函数的性质的运用，考查运算能力，属于中档题．