Question

6．已知f（α）=$\frac{{sin（{π-α}）cos（{2π-α}）tan（{-α+\frac{3π}{2}}）}}{{cos（{-π-α}）}}$
（1）求f（-$\frac{31π}{3}$）
（2）若2f（π+α）=f（$\frac{π}{2}$+α），求$\frac{sinα+cosα}{sinα-cosα}$+cos²α
（3）若f（α）=$\frac{3}{5}$，求sinα，cosα

Answer 1

分析 （1）将f（α）进行化简，将x=-$\frac{31π}{3}$带入计算即可；
（2）2f（π+α）=f（$\frac{π}{2}$+α），建立等式关系，化简，利用弦化切的思想，即可求出$\frac{sinα+cosα}{sinα-cosα}$+cos²α的值．
（3）f（α）=$\frac{3}{5}$，建立等式关系，化简，根据同角三角函数关系式计算即可．

解答 解：由f（α）=$\frac{{sin（{π-α}）cos（{2π-α}）tan（{-α+\frac{3π}{2}}）}}{{cos（{-π-α}）}}$=$\frac{sinα•cosα×\frac{1}{tanα}}{-cosα}$=$\frac{co{s}^{2}α}{-cosα}=-cosα$．
（1）当x=-$\frac{31π}{3}$时，即f（-$\frac{31π}{3}$）=-cos（$\frac{31π}{3}$）=-cos（10π+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$．
（2）2f（π+α）=f（$\frac{π}{2}$+α），即-2cos（π+α）=-cos（$\frac{π}{2}+α$），
可得：2cosα=sinα，
∴tanα=2．
那么：$\frac{sinα+cosα}{sinα-cosα}$+cos²α=$\frac{tanα+1}{tanα-1}+\frac{co{s}^{2}α}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}a}$=$\frac{2+1}{2-1}+\frac{1}{1+ta{n}^{2}α}$=$\frac{16}{5}$．
（3）∵f（α）=$\frac{3}{5}$，即-cosα=$\frac{3}{5}$，
∴cosα=$-\frac{3}{5}$．
那么：sinα=$±\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$±\frac{4}{5}$．

点评 本题主要考查三角函数的化简计算能力．属于基础题．