Question

18．已知△ABC的三边长为 a、b、c，且其中任意两边长均不相等．若a、b、c成等差数列．
（1）比较$\sqrt{\frac{b}{a}}$与$\sqrt{\frac{c}{b}}$的大小，并证明你的结论；
（2）求证角B不可能超过$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 （1）由条件可得2b=a+c，利用基本不等式可得b²≥ac，再利用分析法即可证明；
（2）由条件得到2b=a+c，再由余弦定理表示出cosB，两式联立消去b，得到关于a与c的关系式，整理后利用基本不等式变形，可得出cosB的范围，利用余弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，根据B为三角形的内角，即可求出B的范围．

解答 解：（1）∵△ABC的三边a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，
∴b=$\frac{a+c}{2}$≥$\sqrt{ac}$，∴b²≥ac．
要证$\sqrt{\frac{b}{a}}$≥$\sqrt{\frac{c}{b}}$，
只要证$\frac{b}{a}$≥$\frac{c}{b}$，
只要证b²≥ac，
故$\sqrt{\frac{b}{a}}$≥$\sqrt{\frac{c}{b}}$成立
（2）证明：△ABC的三边a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，
再根据 cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{3（{a}^{2}+{c}^{2}）}{8ac}$-$\frac{1}{4}$≥$\frac{6ac}{8ac}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴B∈（0，$\frac{π}{3}$]，
∴角B不可能超过$\frac{π}{3}$．

点评 此题考查了余弦定理，等差、等比数列的性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及性质是解本题的关键，属于中档题．