Question

7．函数f（x）=4sinωx•cos（ωx+$\frac{π}{6}$）+1（ω＞0），其图象上有两点A（s，t），B（s+2π，t），其中-2＜t＜2，线段AB与函数图象有五个交点．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在[x₁，x₂]和[x₃，x₄]上单调递增，在[x₂，x₃]上单调递减，且满足等式x₄-x₃=x₂-x₁=$\frac{2}{3}$（x₃-x₂），求x₁、x₄所有可能取值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函数的诱导公式化简即可得答案；
（Ⅱ）求出函数f（x）的最值即可得答案．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=4sinωx•cos（ωx+$\frac{π}{6}$）+1=$4sinωx•（\frac{\sqrt{3}}{2}cosωx-\frac{1}{2}sinωx）+1$
=$2\sqrt{3}sinωxcosωx+（1-2si{n}^{2}ωx）$=$\sqrt{3}sin2ωx+cos2ωx$=$2sin（2ωx+\frac{π}{6}）$，
由于|AB|=2π，且线段AB与函数f（x）图象有五个交点，
因此$2T=2×\frac{2π}{2ω}=2π$，故ω=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，函数f（x）=$2sin（2ωx+\frac{π}{6}）$，由题意知${x}_{3}-{x}_{2}=\frac{T}{2}=\frac{π}{2}$，
因此x₄-x₃=x₂-x₁=$\frac{2}{3}$（x₃-x₂）=$\frac{π}{3}$．即${x}_{1}={x}_{2}-\frac{π}{3}$，${x}_{4}={x}_{3}+\frac{π}{3}$．
∵函数f（x）在[x₁，x₂]上单调递增，在[x₂，x₃]上单调递减，
∴f（x）在x₂处取得最大值，即$f（{x}_{2}）=2sin（2{x}_{2}+\frac{π}{6}）$=2．
$2{x}_{2}+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+2kπ$，即${x}_{2}=\frac{π}{6}+kπ$．
∴${x}_{1}={x}_{2}-\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}+kπ-\frac{π}{3}=-\frac{π}{6}+kπ（k∈Z）$．
${x}_{4}={x}_{3}+\frac{π}{3}$=${x}_{2}+\frac{π}{2}+\frac{π}{3}=kπ+π（k∈Z）$．

点评 本题考查了正弦函数的图象，考查了三角函数的最值以及函数的单调性，是中档题．