Question

17．在平面直角坐标系xOy中，向量$\overrightarrow{a}$=（x，y）所对应点位于第一象限，且在向量$\overrightarrow{b}$=（1，1）方向上的投影为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$的最小值为3+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由题意可得：$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{x+y}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，化为x+y=1，x，y＞0．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$=（x，y）所对应点位于第一象限，且在向量$\overrightarrow{b}$=（1，1）方向上的投影为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{x+y}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，化为x+y=1，x，y＞0．
则$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$=（x+y）$（\frac{1}{x}+\frac{2}{y}）$=3+$\frac{y}{x}+\frac{2x}{y}$≥3+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{2x}{y}}$=3+2$\sqrt{2}$，当且仅当y=$\sqrt{2}$x=2-$\sqrt{2}$．
故答案为：3+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质、向量投影，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．