Question

命题p：幂函数y=x

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在（-∞，0）上单调递减；命题q：已知函数f（x）=x³-3x²+m，若a，b，c∈[1，3]，且f（a），f（b），f（c）能构成一个三角形的三边长，且4＜m＜8，则（　　）

• A、p且q为真命题
• B、p或q为假命题
• C、（￢p）且q为真命题
• D、p且（￢q）为真命题

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：由幂函数易判命题p为真命题；求导数可得函数的单调性，结合三角形的三边关系可的m的范围，可判命题q为假命题；由复合命题的真假可得．

解答： 解：∵幂函数y=x

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是偶函数，在（0，+∞）单调递增，
在（-∞，0）上单调递减，∴命题p为真命题；
∵f（x）=x³-3x²+m，∴f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），
令f′（x）＜0可得0＜x＜2，
∴函数f（x）=x³-3x²+m在（1，2）单调递减，在（2，3）单调递增，
∵f（3）=m＞f（1）=m-2，∴函数f（x）在[1，3]的最大值为f（3）=m，
最小值为f（2）=m-4，
由三角形的三边关系可得（m-4）+（m-4）＞m，解得m＞8，
故命题q为假命题；
故p且（￢q）为真命题
故选：D

点评：本题考查复合命题的真假，涉及函数的单调性和导数，属基础题．