Question

已知函数f（x）=ln（1+x）-kx（k∈R）
（Ⅰ）若f（x）最大值为0，求k的值；
（Ⅱ）已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=ln（1+a_n）-

1

2

an；
（i）求证：

n

i=1

ai＜2；（ii）是否存在n使得a_n∉（0，1]，做不存在，请给予证明．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性,数列递推式

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）求导f′（x）=

1

1+x

-k，x∈（-1，+∞），由导数讨论函数的单调性，从而求最值；
（Ⅱ）（i）由ln（x+1）≤x可推出a_n+1≤

1

2

a_n，从而可得a_n≤

1

2

a_n-1≤

1

22

a_n-2≤…≤

1

2n-1

a₁=

1

2n-1

，进而可证明

n

i=1

ai＜2；
（ii）用数学归纳法证明0＜a_n≤1对任意正整数成立．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=

1

1+x

-k，x∈（-1，+∞）
①当k≤0，无最值，舍去；
②k＞0，f_max（x）=f（

1

k

-1）=0，
解得，k=1．
（Ⅱ）i．证明：由（Ⅰ）知，f（x）=ln（1+x）-x≤0，
即ln（x+1）≤x，
∴ln（1+a_n）≤a_n，
∴a_n+1=ln（1+a_n）-

1

2

an≤a_n-

1

2

an；
∴a_n+1≤

1

2

a_n，
∴a_n≤

1

2

a_n-1≤

1

22

a_n-2≤…≤

1

2n-1

a₁=

1

2n-1

，
∴

n

i=1

ai=a1+a2+…+an≤1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1=2-21-n＜2
ii．不存在，由（i）an≤(

1

2

)n-1＜1，
下面用数学归纳法证明a_n＞0对任意正整数成立，
①当n=1，a₁=1＞0；②假设当n=k时假设成立，即a_k＞0
令h(x)=ln(x+1)-

x

2

，
则h′(x)=

1-x

2(x+1)

，
故h（x）在（-1，1）单调递增，
∵0＜a_k≤1，
∴a_k+1=h（a_k）＞h（0）=0，
∴当n=k+1，a_n＞0，
∴a_n＞0，
∴对任意正整数a_n＞0恒成立即不存在n∈N^*，使a_n∉（0，1]．

点评：本题主要考查导数研究函数最值、单调性、数列的递推公式、数列求和、放缩法证明不等式、数学归纳法等基础知识，考查推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想及分类与整合思想．