题目内容
设a，b，c均为正实数
（1）若a+b+c=1，求a2+b2+c2的最小值．
（2）求证：
+
+
≥
+
+
．
（1）若a+b+c=1，求a2+b2+c2的最小值．
（2）求证：
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| c |
| 2 |
| a+b |
| 2 |
| b+c |
| 2 |
| c+a |
考点：平均值不等式在函数极值中的应用
专题：计算题,证明题,不等式
分析：（1）（法一）a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）=1，结合
，可求出a2+b2+c2≥
，（当且仅当a=b=c=
时，等号成立）；
（法二）由柯西不等式可得，（1+1+1）（a2+b2+c2）≥（a+b+c）2=1；
（2）化
+
+
=
[（
+
）+（
+
）+（
+
）]=
（
+
+
），由ab≤(
)2，bc≤(
)2，ac≤(
)2推导证明．
|
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
（法二）由柯西不等式可得，（1+1+1）（a2+b2+c2）≥（a+b+c）2=1；
（2）化
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| c |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| b |
| 1 |
| c |
| 1 |
| a |
| 1 |
| c |
| 1 |
| 2 |
| a+b |
| ab |
| b+c |
| bc |
| a+c |
| ac |
| a+b |
| 2 |
| b+c |
| 2 |
| c+a |
| 2 |
解答：
证明：（1）（法一）∵a+b+c=1，
∴（a+b+c）2=1，
即a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）=1，
又∵
，
∴a2+b2+c2≥ab+bc+ac，
∴3（a2+b2+c2）≥1，
∴a2+b2+c2≥
，
（当且仅当a=b=c=
时，等号成立），
故a2+b2+c2的最小值为
．
（法二）由柯西不等式可得，
（1+1+1）（a2+b2+c2）≥（a+b+c）2=1，
即a2+b2+c2≥
，
故a2+b2+c2的最小值为
．
（2）证明：
+
+
=
[（
+
）+（
+
）+（
+
）]
=
（
+
+
）
∵ab≤(
)2，bc≤(
)2，ac≤(
)2，
∴
（
+
+
）
≥
（
+
+
）
=
+
+
．
故
+
+
≥
+
+
．
∴（a+b+c）2=1，
即a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）=1，
又∵
|
∴a2+b2+c2≥ab+bc+ac，
∴3（a2+b2+c2）≥1，
∴a2+b2+c2≥
| 1 |
| 3 |
（当且仅当a=b=c=
| 1 |
| 3 |
故a2+b2+c2的最小值为
| 1 |
| 3 |
（法二）由柯西不等式可得，
（1+1+1）（a2+b2+c2）≥（a+b+c）2=1，
即a2+b2+c2≥
| 1 |
| 3 |
故a2+b2+c2的最小值为
| 1 |
| 3 |
（2）证明：
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| c |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| b |
| 1 |
| c |
| 1 |
| a |
| 1 |
| c |
=
| 1 |
| 2 |
| a+b |
| ab |
| b+c |
| bc |
| a+c |
| ac |
∵ab≤(
| a+b |
| 2 |
| b+c |
| 2 |
| c+a |
| 2 |
∴
| 1 |
| 2 |
| a+b |
| ab |
| b+c |
| bc |
| a+c |
| ac |
≥
| 1 |
| 2 |
| 4 |
| a+b |
| 4 |
| b+c |
| 4 |
| a+c |
=
| 2 |
| a+b |
| 2 |
| b+c |
| 2 |
| c+a |
故
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| c |
| 2 |
| a+b |
| 2 |
| b+c |
| 2 |
| c+a |
点评：本题考查了不等式的应用，应用了基本不等式与柯西不等式，属于中档题．
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命题p：幂函数y=x
在（-∞，0）上单调递减；命题q：已知函数f（x）=x3-3x2+m，若a，b，c∈[1，3]，且f（a），f（b），f（c）能构成一个三角形的三边长，且4＜m＜8，则（ ）
| 2 |
| 3 |
| A、p且q为真命题 |
| B、p或q为假命题 |
| C、（￢p）且q为真命题 |
| D、p且（￢q）为真命题 |