Question

已知定义域为R的函数f（x）=

-2x+a

2x+1

是奇函数．
（1）求实数a的值．
（2）已知不等式f（log_m

3

4

）+f（-1）＞0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数奇偶性的性质

专题：分类讨论,函数的性质及应用

分析：（1）由f（x）是R上的奇函数，得f（0）=0，求出a的值；
（2）由f（x）是R上的奇函数且是减函数，把不等式f（log_m

3

4

）+f（-1）＞0转化为log_m

3

4

＜log_mm，再讨论m的取值，求出不等式成立的m的取值范围．

解答： 解；（1）∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
令x=0，则f（0）=0，
即

-20+a

20+1

=

a-1

2

=0，
∴a=1，
∴f(x)=

1-2x

1+2x

；
（2）∵f（x）是R上的奇函数，
∴不等式f（log_m

3

4

）+f（-1）＞0
等价于f（log_m

3

4

）＞-f（-1）=f（1），
又∵f(x)=

1-2x

1+2x

=

-2x-1+2

2x+1

=-1+

2

1+2x

是R上的减函数，
∴log_m

3

4

＜1=log_mm，
∴当0＜m＜1时，

3

4

＞m，即0＜m＜

3

4

；
当m＞1时，

3

4

＜m，即m＞1；
综上，m的取值范围是m∈（0，

3

4

）∪（1，+∞）．

点评：本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，也考查了对数函数的图象与性质的应用问题，是中档题．