Question

已知△ABC的两个顶点B（-1，0），C（1，0），直线AB，AC所在直线的斜率之积等于m（m≠0），探求顶点A的轨迹．

Answer 1

考点：与直线有关的动点轨迹方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设出顶点C的坐标，由AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m≠0）列式整理得到顶点C的轨迹E的方程，然后分m的不同取值范围判断轨迹E为何种圆锥曲线．

解答： 解：设点C（x，y），由AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m≠0），
得：

y

x+1

•

y

x-1

=m，化简得：mx²-y²=m（y≠0）．
当m＜-1时，轨迹E表示焦点在y轴上的椭圆，且除去B（-1，0），C（1，0）两点；
当m=-1时，轨迹E表示以（0，0）为圆心，半径是1的圆，且除去B（-1，0），C（1，0），两点；
当-1＜m＜0时，轨迹E表示焦点在x轴上的椭圆，且除去B（-1，0），C（1，0），两点；
当m＞0时，轨迹E表示焦点在y轴上的双曲线，且除去B（-1，0），C（1，0），两点．

点评：本题考查了与直线有关的动点轨迹方程，考查了分类讨论的数学思想方法，属于中档题．