Question

已知{a_n}是公差不为零的等差数列，a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n-a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用等差数列的通项公式结合等比数列的性质，列出方程求出公差，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）依题意得bn=2n+n，由此利用分组求和法能求出数列{b_n}的前n项和S_n．

解答： （本小题满分（13分），（Ⅰ）小问（6分），（Ⅱ）小问7分）
解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d（d≠0），
则a₃=1+2d，a₉=1+8d，
∵a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比数列，
∴a32=a1a9，即（1+2d）²=1+8d，解得：d=1或d=0（舍）
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=n
（Ⅱ）依题意有：bn-an=2n，则bn=2n+n，
∴Sn=b1+b2+…+bn=(21+1)+(22+2)+…+(2n+n)
=(21+22+…+2n)+(1+2+…+n)=

2×(1-2n)

1-2

+

(1+n)n

2

=2n+1+

1

2

n2+

1

2

n-2．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．