Question

6．如图，已知四棱锥S-ABCD中，SA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，且SA=AB=BC=2CD=2，E是边SB的中点．
（1）求证：CE∥平面SAD；
（2）求二面角D-EC-B的余弦值大小．

Answer 1

分析 （1）取SA中点F，连结EF，FD，推导出四边形EFDC是平行四边形，由此能证明CE∥面SAD．
（2）在底面内过点A作直线AM∥BC，则AB⊥AM，以AB，AM，AS所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D-EC-B的余弦值．

解答 证明：（1）取SA中点F，连结EF，FD，
∵E是边SB的中点，
∴EF∥AB，且EF=$\frac{1}{2}$AB，
又∵∠ABC=∠BCD=90°，
∴AB∥CD，
又∵AB=2CD，且EF=CD，
∴四边形EFDC是平行四边形，
∴FD∥EC，
又FD?平面SAD，CE?平面SAD，
∴CE∥面SAD．
解：（2）在底面内过点A作直线AM∥BC，则AB⊥AM，
又SA⊥平面ABCD，
以AB，AM，AS所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（1，2，0），D（1，2，0），E（1，0，1），
则$\overrightarrow{BC}$=（0，2，0），$\overrightarrow{BE}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{CD}$=（-1，0，），$\overrightarrow{CE}$=（-1，-2，1），
设面BCE的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=-x+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
同理求得面DEC的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，1，2），
cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
由图可知二面角D-EC-B是钝二面角，
∴二面角D-EC-B的余弦值为-$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．