题目内容
14．某青年教师有一专项课题是进行“学生数学成绩与物理成绩的关系”的研究，他调查了某中学高二年级800名学生上学期期末考试的数学和物理成绩，把成绩按优秀和不优秀分类得到的结果是：数学和物理都优秀的有60人，数学成绩优秀但物理不优秀的有140人，物理成绩优秀但数学不优秀的有60人．（1）能否在犯错概率不超过0.001的前提下认为该中学学生的数学成绩与物理成绩有关？
（2）将上述调查所得到的频率视为概率，从全体高二年级学生成绩中，有放回地随机抽取4名学生的成绩，记抽取的4份成绩中数学、物理两科成绩恰有一科优秀的份数为X，求X的分布列和期望E（X）．
附：
| P（K2≥k0） | 0.100 | 0.050 | 0.010 |
| k0 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
分析 （1）利用公式计算出K2，进而得出结论．
（2）随机抽取1名学生的成绩，数学、物理两科成绩恰有一科优秀的概率为$p=\frac{200}{800}=\frac{1}{4}$，利用由X～B（4，$\frac{1}{4}$），即可得出X的分布列及其数学期望．
解答 解：（1）列出的2×2列联表为：
| 数学成绩 | 物理成绩 | 合计 | |
| 优秀 | 200 | 120 | 320 |
| 不优秀 | 600 | 680 | 1280 |
| 合计 | 800 | 800 | 1600 |
∴${K^2}=\frac{{1600{{（200×680-600×120）}^2}}}{800×800×320×1280}=25．＞10.828$；
故能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该中学学生的数学成绩与物理成绩有关系．…（6分）
（2）随机抽取1名学生的成绩，数学、物理两科成绩恰有一科优秀的概率为$p=\frac{200}{800}=\frac{1}{4}$…（7分）
∵X～B（4，$\frac{1}{4}$），∴X的分布列为
| X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| p | $\frac{81}{256}$ | $\frac{27}{64}$ | $\frac{27}{128}$ | $\frac{3}{64}$ | $\frac{1}{256}$ |
∴$E（X）=np=4×\frac{1}{4}=1$．…（12分）
点评 本题考查了独立性检验思想、二项分布列及其数学期望，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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如图所示，菱形ABEF⊥直角梯形ABCD，∠BAD=∠CDA=90°，∠ABE=60°，AB=2AD=2CD=2，H是EF的中点
5．在△OMN中，点A在OM上，点B在ON上，且AB∥MN，2OA=OM，若$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，则终点P落在四边形ABNM内（含边界）时，$\frac{y+x+2}{x+1}$的取值范围是（ ）
| A． | $[\frac{1}{2}，2]$ | B． | $[\frac{1}{3}，3]$ | C． | $[\frac{3}{2}，3]$ | D． | $[\frac{4}{3}，4]$ |
如图，已知四棱锥S-ABCD中，SA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，且SA=AB=BC=2CD=2，E是边SB的中点．