Question

14．已知f（x）=|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集为{x|-2≤x≤1}．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若f（x）-2f（$\frac{x}{2}$）≤k恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件分类讨论，解绝对值不等式，求得不等式f（x）≤3的解集．再根据不等式f（x）≤3的解集为{x|-2≤x≤1}，求得a的值．
（Ⅱ）由题意可得|2x+1|-2|x+1|≤k恒成立，令g（x）=|2x+1|-2|x+1|，利用分段函数求得g（x）的最大值，可得k的范围．

解答 解：（Ⅰ）不等式f（x）≤3，即|ax+1|≤3，即-3≤ax+1≤3，即-4≤ax≤2．
当a＞0时，求得-$\frac{4}{a}$≤x≤$\frac{2}{a}$，再根据它的解集为{x|-2≤x≤1}，可得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{4}{a}=-2}\\{\frac{2}{a}=1}\end{array}\right.$，求得a=2．
当a＜0时，求得$\frac{2}{a}$≤x≤-$\frac{4}{a}$，再根据它的解集为{x|-2≤x≤1}，可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{a}=-2}\\{-\frac{4}{a}=1}\end{array}\right.$，a无解．
综上可得，a=2，f（x）=|2x+1|．
（Ⅱ）若f（x）-2f（$\frac{x}{2}$）≤k恒成立，即|2x+1|-2|x+1|≤k恒成立．
令g（x）=|2x+1|-2|x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{1，x＜-1}\\{-3x-3，-1≤x≤-\frac{1}{2}}\\{-1，x＞-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，故函数g（x）的最大值为1，
故k≥1．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，分段函数的应用，求函数的最值，属于中档题．