Question

16．已知圆C：x²+y²=4．
（Ⅰ）直线l过点P（1，2），且与圆C相切，求直线l的方程；
（Ⅱ）过圆C上一动点M作平行于y轴的直线m，设m与x轴的交点为N，若向量$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$，求动点Q的轨迹方程．
（Ⅲ） 若点R（1，0），在（Ⅱ）的条件下，求|$\overrightarrow{PQ}$|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直线l过点P（1，2），且与圆C相切，圆心到此直线的距离=半径，即可求直线l的方程；
（Ⅱ）设出M及Q的坐标，根据题意表示出N的坐标，利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式，用x与y分别表示出x₀及y₀，将表示出的x₀及y₀代入圆C的方程，得到x与y的关系式，再根据由已知，直线m∥y轴，得到x≠0，即可得出Q的轨迹方程；
（Ⅲ）由Q及R的坐标，表示出$\overrightarrow{RQ}$，利用平面向量模的计算法则表示出|$\overrightarrow{RQ}$|²，由圆C的方程表示出y²，将y²代入表示出的|$\overrightarrow{RQ}$|²中，得到关于x的二次三项式，配方后根据二次函数的性质，可得出|$\overrightarrow{RQ}$|²的最小值，开方即可得出|$\overrightarrow{RQ}$|的最小值，以及此时x的值．

解答 解：（Ⅰ）显然直线l不垂直于x轴，
设其方程为y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0…（2分）
设圆心到此直线的距离为d，则d=$\frac{|-k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，
得k=0或k=-$\frac{4}{3}$              …（4分）
故所求直线方程为y=2或4x+3y-10=0．…（5分）
（Ⅱ）设点M的坐标为（x₀，y₀），Q点坐标为（x，y），
则N点坐标是（x₀，0），
∵$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$，
∴（x，y）=（2x₀，y₀），即x₀=$\frac{x}{2}$，y₀=y，
又∵x₀²+y₀²=4，∴$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=4，（8分）
由已知，直线m∥y轴，得到x≠0，
∴Q点的轨迹方程是$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=4（x≠0）；（9分）
（Ⅲ）设Q坐标为（x，y），R（1，0），
∴$\overrightarrow{RQ}$=（x-1，y），
∴|$\overrightarrow{RQ}$|²=（x-1）²+y²，（10分）
又$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=4（x≠0），
∴|$\overrightarrow{RQ}$|²=（x-1）²+y²=（x-1）²+4-$\frac{{x}^{2}}{4}$=$\frac{3（x-\frac{4}{3}）^{2}+\frac{44}{3}}{4}$≥$\frac{11}{3}$，（12分）
∵x∈[-4，0）∪（0，4]，
∴x=$\frac{4}{3}$时，|$\overrightarrow{RQ}$|取到最小值$\frac{\sqrt{33}}{3}$．（14分）

点评 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，点到直线的距离公式，直线的点斜式方程，动点的轨迹方程，平面向量的数量积运算法则，以及二次函数的性质，利用了数形结合及转化的思想，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．