Question

（1）已知：a＞0，

1

b

-

1

a

＞1，证明

1+a

＞

1

1-b

（2）用反证法证明：若a，b，c均为实数，且a=x²-2y+

π

2

，b=y²-2z+

π

3

，c=z²-2x+

π

6

，求证：a，b，c中至少有一个大于0．

Answer 1

考点：反证法与放缩法,不等式的证明

专题：推理和证明

分析：（1）直接利于已知条件通过分解因式，化简推出结果即可．
（2）用反证法，假设a，b，c都小于或等于0，推出a+b+c的值大于0，出现矛盾，从而得到假设不正确，命题得证．

解答： 证明：（1），∵a＞0，

1

b

-

1

a

＞1，∴a-b＞ab，
∴1+a-b-ab＞1，
∴（1+a）（1-b）＞1，
∵a＞0，∴1-b＞0
∴

1+a

•

1-b

＞1
∴

1+a

＞

1

1-b

．
（2）假设a，b，c都不大于0即a≤0，b≤0，c≤0
根据同向不等式的可加性可得a+b+c≤0①
又a+b+c=x²-2y+

π

2

+y²-2z+

π

3

+z²-2x+

π

6

=（x-1）²+（y-1）²+（z-1）²+π-3＞0与①式矛盾．
所以假设不成立，即原命题的结论a，b，c中至少有一个大于0．

点评：本题的考点有分析法、反证法以及放缩法，主要考查用反证法证明数学命题，推出矛盾，是解题的关键和难点．