Question

若a∈R，函数f（x）=

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x³+

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2

ax²-（a+1）x．
（Ⅰ）若a=0，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当x∈[-1，2]时，-1≤f（x）≤

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恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求函数的单调区间的常用办法便是求导数，判断导数符号，所以将a=0带入函数f（x）中求出f（x），然后求导数大于0的x所在区间即可．
（Ⅱ）对于第二问，由x的取值范围，得到函数值的范围，求解方法是，先求函数f（x）的导数，这里需要讨论a的取值情况，为简化讨论a的过程，这里用的办法是：根据当x∈[-1，2]时，-1≤f（x）≤

2

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恒成立，得到，-1≤f（-1）≤

2

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，-1≤f（1）≤

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，这样能够求出a的取值范围，这样可简化对a的讨论．根据题意本题实际上是求函数f（x）的最值，使f_min（x）≥-1，使fmax(x)≤

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，从而求出满足这两个不等式的a的取值，从而完成本题的求解．

解答： 解：（Ⅰ）若a=0，则f（x）=

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x3-x，∴f′（x）=x²-1；
∴函数f（x）的单调递增区间是：（-∞，-1]，和[1，+∞）．
（Ⅱ）由题意知：

-1≤f(-1)≤ 2 3 -1≤f(1)≤ 2 3

，即，

-1≤- 1 3 + 1 2 a+a+1≤ 2 3 -1≤ 1 3 + 1 2 a-a-1≤ 2 3

，解得：-

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≤a≤0；
f′（x）=x²+ax-（a+1）=（x+a+1）（x-1）；
∵-1≤-(a+1)≤

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；
∴（1）当-（a+1）=-1，即a=0时：f′（x）=（x+1）（x-1）则
x∈（-1，1）时，f′（x）＜0；x∈（1，2）时，f′（x）＞0．
∴x=1时f（x）取到最小值f（1）=-

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3

＞-1，又f（-1）=

2

3

，f（2）=

2

3

；
∴a=0时符合题意．
（2）当-1＜-(a+1)≤

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，即-

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≤a＜0时：当x∈（-1，-（a+1））时，f′（x）＞0；当x∈（-（a+1），1）时，f′（x）＜0．
∴x=-（a+1）时，f（x）取到极大值f（-（a+1））=

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a3+a2+

3

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a+

2

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；
当x∈（-（a+1），1）时，f′（x）＜0；当x∈（1，2）时，f′（x）＞0．
∴x=1时，f（x）取到极小值f（1）=-

1

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a-

2

3

≥-

2

3

＞-1；
又f（-1）=

3

2

a+

2

3

≥-1，f（2）=

2

3

；
∴根据题意，只要f（-（a+1））=

1

6

a3+a2+

3

2

a+

2

3

≤

2

3

恒成立，即a（a+3）²≤0成立，
∵a＜0，∴只要让（a+3）²≥0成立，显然这是成立的；
∴-

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≤a＜0时符合题意．
综上可得a的取值范围是[-

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，0]．

点评：求函数的导数，然后判断导数的符号，从而判断函数的单调性，求出函数的单调区间，这是求函数的单调区间，判断单调性的常用方法．还一个就是求函数的最值，也常用导数求解，求解过程要熟练掌握．对于第二问，需注意的是先根据-1≤f(-1)≤

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，-1≤f(1)≤

2

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来求出一个a的范围．