题目内容
12．
已知多面体ABCDEF如图所示，其中ABCD为矩形，△DAE为等腰等腰三角形，DA⊥AE，四边形AEFB为梯形，且AE∥BF，∠ABF=90°，AB=BF=2AE=2．（1）若G为线段DF的中点，求证：EG∥平面ABCD；
（2）线段DF上是否存在一点N，使得直线BN与平面FCD所成角的余弦值等于$\frac{{\sqrt{21}}}{5}$？若存在，请指出点N的位置；若不存在，请说明理由．
分析 （1）以B为原点，BA，BF，BC分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面ABCD的一个法向量，通过$\overrightarrow{EG}•\overrightarrow n=（-1，0，\frac{1}{2}）•（0，1，0）=0$，推出$\overrightarrow{EG}⊥\overrightarrow n$，即可证明EG∥平面ABCD．
（2）当点N与点D重合时，直线BN与平面FCD所成角的余弦值等于$\frac{{\sqrt{21}}}{5}$．理由如下：直线BN与平面FCD所成角的余弦值为$\frac{{\sqrt{21}}}{5}$，即直线BN与平面FCD所成角的正弦值为$\frac{2}{5}$，求出平面FCD的法向量，设线段FD上存在一点N，使得直线BN与平面FCD所成角的正弦值等于$\frac{2}{5}$，设$\overrightarrow{FN}=λ\overrightarrow{FD}（0≤λ≤1）$，通过向量的数量积，转化求解λ，推出当N点与D点重合时，直线BN与平面FCD所成角的余弦值为$\frac{{\sqrt{21}}}{5}$．
解答 
解：（1）证明：因为DA⊥AE，DA⊥AB，AB∩AE=A，故DA⊥平面ABFE，
故CB⊥平面ABFE，以B为原点，BA，BF，BC分别为x轴，y轴，z轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，则F（0，2，0），D（2，0，1），$G（1，1，\frac{1}{2}）$，E（2，1，0），C（0，0，1），所以$\overrightarrow{EG}=（-1，0，\frac{1}{2}）$，易知平面ABCD的一个法向量$\overrightarrow n=（0，1，0）$，所以$\overrightarrow{EG}•\overrightarrow n=（-1，0，\frac{1}{2}）•（0，1，0）=0$，所以$\overrightarrow{EG}⊥\overrightarrow n$，又EG?平面ABCD，所以EG∥平面ABCD．
（2）当点N与点D重合时，直线BN与平面FCD所成角的余弦值等于$\frac{{\sqrt{21}}}{5}$．理由如下：
直线BN与平面FCD所成角的余弦值为$\frac{{\sqrt{21}}}{5}$，即直线BN与平面FCD所成角的正弦值为$\frac{2}{5}$，因为$\overrightarrow{FD}=（2，-2，1），\overrightarrow{CD}=（2，0，0）$，设平面FCD的法向量为$\overrightarrow{n_1}=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{FD}=0\\ \overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{CD}=0\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}2{x_1}-2{y_1}+{z_1}=0\\ 2{x_1}=0\end{array}\right.$，取y1=1得平面FCD的一个法向量$\overrightarrow{n_1}=（0，1，2）$
假设线段FD上存在一点N，使得直线BN与平面FCD所成角的正弦值等于$\frac{2}{5}$，
设$\overrightarrow{FN}=λ\overrightarrow{FD}（0≤λ≤1）$，则$\overrightarrow{FN}=λ（2，-2，1）=（2λ，-2λ，λ）$，$\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{FN}=（2λ，2-2λ，λ）$，
所以$sinα=cos＜\overrightarrow{BN}，\overrightarrow{n_1}＞=\frac{{\overrightarrow{|BN}•\overrightarrow{n_1}|}}{{|\overrightarrow{BN}||\overrightarrow{n_1}|}}=\frac{2}{{\sqrt{5}•\sqrt{{{（2λ）}^2}+{{（2-2λ）}^2}+{λ^2}}}}=\frac{2}{{\sqrt{5}•\sqrt{9{λ^2}-8λ+4}}}=\frac{2}{5}$，
所以9λ2-8λ-1=0，解得λ=1或$λ=-\frac{1}{9}$（舍去）
因此，线段DF上存在一点N，当N点与D点重合时，直线BN与平面FCD所成角的余弦值为$\frac{{\sqrt{21}}}{5}$．
点评 本题考查空间向量的应用，直线与平面平行以及直线与平面所成角的求法，考查数形结合以及转化思想的应用．
| 年份 x | 1950 | 1951 | 1952 | 1953 | 1954 | 1955 | 1956 | 1957 | 1958 |
| 人数 Y/万人 | 55 196 | 56 300 | 57 482 | 58 796 | 60 266 | 61 560 | 62 828 | 64 563 | 65 994 |
| A． | 自2008年起，每年的生活垃圾无害化处理量和年份代码正相关 | |
| B． | 自2008年起，每年的生活垃圾无害化处理量大约增加0.10万吨 | |
| C． | 由此模型可知2016年该地区生活垃圾无害化处理量是1.82万吨 | |
| D． | 由此模型预测出2017年该地区生活垃圾无害化处理量约为1.92万吨 |
如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于（1，1）时，$\overrightarrow{OP}$的坐标为（ ）| A． | （1-sin1，1-cos1） | B． | （1+sin1，1-cos1） | C． | （1-sin1，1+cos1） | D． | （1+sin1，1+cos1） |
| A． | 2 | B． | $\sqrt{3}$ | C． | 1 | D． | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ |