题目内容

12．已知多面体ABCDEF如图所示，其中ABCD为矩形，△DAE为等腰等腰三角形，DA⊥AE，四边形AEFB为梯形，且AE∥BF，∠ABF=90°，AB=BF=2AE=2．
（1）若G为线段DF的中点，求证：EG∥平面ABCD；
（2）线段DF上是否存在一点N，使得直线BN与平面FCD所成角的余弦值等于$\frac{{\sqrt{21}}}{5}$？若存在，请指出点N的位置；若不存在，请说明理由．

分析 （1）以B为原点，BA，BF，BC分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面ABCD的一个法向量，通过$\overrightarrow{EG}•\overrightarrow n=（-1，0，\frac{1}{2}）•（0，1，0）=0$，推出$\overrightarrow{EG}⊥\overrightarrow n$，即可证明EG∥平面ABCD．
（2）当点N与点D重合时，直线BN与平面FCD所成角的余弦值等于$\frac{{\sqrt{21}}}{5}$．理由如下：直线BN与平面FCD所成角的余弦值为$\frac{{\sqrt{21}}}{5}$，即直线BN与平面FCD所成角的正弦值为$\frac{2}{5}$，求出平面FCD的法向量，设线段FD上存在一点N，使得直线BN与平面FCD所成角的正弦值等于$\frac{2}{5}$，设$\overrightarrow{FN}=λ\overrightarrow{FD}（0≤λ≤1）$，通过向量的数量积，转化求解λ，推出当N点与D点重合时，直线BN与平面FCD所成角的余弦值为$\frac{{\sqrt{21}}}{5}$．

解答 解：（1）证明：因为DA⊥AE，DA⊥AB，AB∩AE=A，故DA⊥平面ABFE，
故CB⊥平面ABFE，以B为原点，BA，BF，BC分别为x轴，y轴，z轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，则F（0，2，0），D（2，0，1），$G（1，1，\frac{1}{2}）$，E（2，1，0），C（0，0，1），所以$\overrightarrow{EG}=（-1，0，\frac{1}{2}）$，易知平面ABCD的一个法向量$\overrightarrow n=（0，1，0）$，所以$\overrightarrow{EG}•\overrightarrow n=（-1，0，\frac{1}{2}）•（0，1，0）=0$，所以$\overrightarrow{EG}⊥\overrightarrow n$，又EG?平面ABCD，所以EG∥平面ABCD．
（2）当点N与点D重合时，直线BN与平面FCD所成角的余弦值等于$\frac{{\sqrt{21}}}{5}$．理由如下：
直线BN与平面FCD所成角的余弦值为$\frac{{\sqrt{21}}}{5}$，即直线BN与平面FCD所成角的正弦值为$\frac{2}{5}$，因为$\overrightarrow{FD}=（2，-2，1），\overrightarrow{CD}=（2，0，0）$，设平面FCD的法向量为$\overrightarrow{n_1}=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{FD}=0\\ \overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{CD}=0\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}2{x_1}-2{y_1}+{z_1}=0\\ 2{x_1}=0\end{array}\right.$，取y1=1得平面FCD的一个法向量$\overrightarrow{n_1}=（0，1，2）$
假设线段FD上存在一点N，使得直线BN与平面FCD所成角的正弦值等于$\frac{2}{5}$，
设$\overrightarrow{FN}=λ\overrightarrow{FD}（0≤λ≤1）$，则$\overrightarrow{FN}=λ（2，-2，1）=（2λ，-2λ，λ）$，$\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{FN}=（2λ，2-2λ，λ）$，
所以$sinα=cos＜\overrightarrow{BN}，\overrightarrow{n_1}＞=\frac{{\overrightarrow{|BN}•\overrightarrow{n_1}|}}{{|\overrightarrow{BN}||\overrightarrow{n_1}|}}=\frac{2}{{\sqrt{5}•\sqrt{{{（2λ）}^2}+{{（2-2λ）}^2}+{λ^2}}}}=\frac{2}{{\sqrt{5}•\sqrt{9{λ^2}-8λ+4}}}=\frac{2}{5}$，
所以9λ2-8λ-1=0，解得λ=1或$λ=-\frac{1}{9}$（舍去）
因此，线段DF上存在一点N，当N点与D点重合时，直线BN与平面FCD所成角的余弦值为$\frac{{\sqrt{21}}}{5}$．

点评 本题考查空间向量的应用，直线与平面平行以及直线与平面所成角的求法，考查数形结合以及转化思想的应用．

练习册系列答案
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5．1950～1958年我国的人口数据资料：
年份 x195019511952195319541955195619571958
人数
Y/万人		55 19656 30057 48258 79660 26661 56062 82864 56365 994
求 y 关于 x 的非线性回归方程．
5．某地区根据2008年至2014年每年的生活垃圾无害化处理量y（单位：万吨）的数据，用线性回归模型拟合y关于t的回归方程为：$\widehat{y}$=0.92+0.1t（t表示年份代码，自2008年起，t的取值分别为1，2，3…），则下列表述不正确的是（　　）
A．自2008年起，每年的生活垃圾无害化处理量和年份代码正相关
B．自2008年起，每年的生活垃圾无害化处理量大约增加0.10万吨
C．由此模型可知2016年该地区生活垃圾无害化处理量是1.82万吨
D．由此模型预测出2017年该地区生活垃圾无害化处理量约为1.92万吨
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于（1，1）时，$\overrightarrow{OP}$的坐标为（　　）
A．（1-sin1，1-cos1）B．（1+sin1，1-cos1）C．（1-sin1，1+cos1）D．（1+sin1，1+cos1）

在正方形内有一扇形（见图中阴影部分），点P随意等可能落在正方形内，则这点落在扇形外，且在正方形内的概率为________．
17．已知数列{an}的前项和为an+2=an+1-an，且a1=2，a2=3，Sn为数列{an}的前n项和，则S2017的值为（　　）
A．0B．2C．5D．6
4．在区间[0，5]上随机地选择一个数t，则方程x2+2tx+3t-2=0有两个负实根的概率为$\frac{2}{3}$．
1．中心角为60°的扇形AOB，它的弧长为2π，则三角形AOB的内切圆半径为（　　）
A．2B．$\sqrt{3}$C．1D．$\frac{\sqrt{3}}{2}$
1．已知含有n个元素的正整数集A={a1，a2，…，an}（a1＜a2＜…＜an，n≥3）具有性质P：对任意不大于S（A）（其中S（A）=a1+a2+…+an）的正整数k，存在数集A的一个子集，使得该子集所有元素的和等于k．
（Ⅰ）写出a1，a2的值；
（Ⅱ）证明：“a1，a2，…，an成等差数列”的充要条件是“S（A）=$\frac{n（n+1）}{2}$”；
（Ⅲ）若S（A）=2017，求当n取最小值时an的最大值．

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