Question

5．1950～1958年我国的人口数据资料：

年份 x	1950	1951	1952	1953	1954	1955	1956	1957	1958
人数 Y/万人	55 196	56 300	57 482	58 796	60 266	61 560	62 828	64 563	65 994

求 y 关于 x 的非线性回归方程．

Answer 1

分析 利用变换的方法，结合线性回归方程，求 y 关于 x 的非线性回归方程．

解答 解：根据收集数据，作散点图．

根据已有函数知识，发现样本点分布在某一条指数函数周围，y=c ₁e ^c₂^x（其中 c ₁，c ₂是待定参数）．
令 z=ln y，则有 y=e ^z，
∴e ^z=e ^lnc₁+c ₂^x．
z=c ₂x+ln c ₁=bx+a，
变换后：

x	1950	1951	1952	1953	1954	1955	1956	1957	1958
z=ln y	10.92	10.94	10.96	10.98	11.01	11.03	11.05	11.08	11.09

由散点图可知，x 与 z 线性相关，故采用一元线性回归模型，由表中数算得：
$\overline{x}$=1 954，L _xz=1.23，$\overline{z}$=11.01，L _xx=60．
∴b=$\frac{1.23}{60}$≈0.021．
a=$\overline{z}$-b $\overline{x}$=-30.02．
∴z=a+bx=0.021 x-30.02，
即ln y=0.021 x-30.02．
∴y=e ^0.021x-30.02．
因此，所求非线性回归方程为 y=e ^0.021x-30.02．

点评 本题考查回归方程，考查换元方法的运用，属于中档题．