Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=

n(1+an)

2

（n=1，2，3，…）
（1）求a₁的值；
（2）求证：（n-2）a_n+1=（n-1）a_n-1（n≥2）；
（3）判断数列{a_n}是否为等差数列，并说明理由．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）直接在数列递推式中取n=1求解a₁的值；
（2）在数列递推式中取n=n-1得另一递推式，和原递推式作差后整理即可证得（n-2）a_n+1=（n-1）a_n-1（n≥2）；
（3）数列{a_n}是等差数列，再在原递推式中取n=n-2得递推式，与n=n-1时的递推式作差，然后借助于等差中项的概念得答案．

解答： （1）解：由S_n=

n(1+an)

2

，得a1=S1=

1+a1

2

，解得a₁=1；
（2）证明：∵S_n=

n(1+an)

2

，
∴Sn-1=

(n-1)(1+an-1)

2

(n≥2)．
两式作差得：an=

nan+1-(n-1)an-1

2

，
即（n-2）a_n+1=（n-1）a_n-1（n≥2）；
（3）数列{a_n}是等差数列．
事实上，
由S_n=

n(1+an)

2

，
∴Sn-1=

(n-1)(1+an-1)

2

(n≥2)．
Sn-2=

(n-2)(1+an-2)

2

(n≥3)．
由（2）可得，an-1=Sn-1-Sn-2=

(n-1)an-1+1-(n-2)an-2

2

（n≥3）．
∴an-an-1=

nan-2(n-1)an-1+(n-2)an-2

2

．
即（n-2）a_n-2（n-2）a_n-1+（n-2）a_n-2=0．
∵n≥3，
∴a_n-2a_n-1+a_n-2=0，即a_n-a_n-1=a_n-1-a_n-2（n≥3）．
∴数列{a_n}是以1为首项，a₂-1为公差的等差数列．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了学生的计算能力，是中档题．