Question

已知函数f（x）=x²+（2a-1）x-3，x∈[-2，3]．
（1）当a=2时，求函数f（x）的值域；
（2）若函数f（x）存在单调递减区间，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的图象,二次函数的性质

专题：

分析：（1）当a=2时，先求二次函数的对称轴，再判断对称轴是否在[-2，3]，然后求其值域；
（2）先求二次函数的对称轴x=-

2a-1

2

，由于函数f（x）在[-2，3]存在单调递减区间，所以-

2a-1

2

＞-2．

解答： 解：（1）当a=2时，f（x）=x²+3x-3，x∈[-2，3]，对称轴x=-

3

2

∈[-2，3]，
∴f（x）_min=f（-

3

2

）=

9

4

-

9

2

-3=-

21

4

，f（x）_max=f（3）=15，
∴函数f（x）的值域为[-

21

4

，15）．…（6分）
（2）函数 f（x）=x²+（2a-1）x-3的对称轴为x=-

2a-1

2

．
∴函数f（x）在区间（-∞，-

2a-1

2

）单调递减，在区间 （-

2a-1

2

，+∞）单调递增．
又∵f（x）=x²+（2a-1）x-3，x∈[-2，3]存在单调递减区间…（10分）
∴-

2a-1

2

＞-2  解得a＜

5

2

．…（12分）

点评：本题主要考查二次函数的对称轴和值域以及二次函数的单调性．