Question

已知双曲线的中心在原点，实轴A₁A₂在x轴上，虚轴的一个端点为P．
（1）若实轴长为2，焦距为4，求双曲线的标准方程；
（2）若∠A₁PA₂为直角，求双曲线的离心率；
（3）若∠A₁PA₂为锐角，求双曲线离心率的范围．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用实轴长为2，焦距为4，可得a=1，c=2，求出b，即可求双曲线的标准方程；
（2）若∠A₁PA₂为直角，则a=b，即可求双曲线的离心率；
（3）若∠A₁PA₂为锐角，∠A₁PO≤30°，即可求双曲线离心率的范围．

解答： 解：（1）∵实轴长为2，焦距为4，
∴a=1，c=2，
∴b=

3

，
∵双曲线的中心在原点，实轴A₁A₂在x轴上，
∴双曲线的标准方程为x2-

y2

3

=1；
（2）∵∠A₁PA₂为直角，
∴a=b，
∴双曲线的离心率为

2

；
（3）若∠A₁PA₂为锐角，则∠A₁PO≤30°，
∴

b

a

≥

3

，
∴e=

1+ b2 a2

≥2．

点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．