题目内容

在△ABC中，三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，设函数f（x）=
3
sin2x+cos2x，且f（
A
2
）=2．
（1）若acosB+bcosA=csinC，求角B的大小；
（2）记g（λ）=|
AB
+λ
AC
|，若|
AB
|=|
AC
|=3，试求g（λ）的最小值．
考点：正弦定理的应用,三角函数中的恒等变换应用
专题：计算题,三角函数的求值,解三角形,平面向量及应用
分析：（1）由两角和的正弦公式，即可化简f（x），再由f（
A
2
）=2，即可得到A，再由正弦定理，即可化简acosB+bcosA=csinC，求出sinC，得到C，从而得到B；
（2）运用向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，代入数据，得到g（λ）的表达式，配方即可得到最小值．
解答： 解：（1）函数f（x）=
3
sin2x+cos2x=2（
3
2
sin2x+
1
2
cos2x）
=2sin（2x+
π
6
），
且f（
A
2
）=2，即有sin（A+
π
6
）=1，A为三角形的内角，
则A=
π
2
-
π
6
=
π
3
，
又acosB+bcosA=csinC，
由正弦定理，得sinAcosB+sinBcosA=sinCsinC，
即有sin（A+B）=sinC=sin2C，
即有sinC=1，C为三角形的内角，即有C=
π
2
，
则B=π-A-C=
π
6
；
（2）|
AB
+λ
AC
|2=|
AB
|2+λ2|
AC
|2+2λ|
AB
||
AC
|，
而|
AB
|=|
AC
|=3，A=
π
3
，
则|
AB
+λ
AC
|=
(1+λ+λ2)|
AB
|

=3
(λ+
1
2
)2+
3
4
，
则当λ=-
1
2
时，g（λ）取得最小值
3
3
2
．
点评：本题考查三角函数的求值和正弦定理及运用，考查平面向量的数量积及性质，考查运算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知定义在R上的函数f（x）=|x-1|+|x+2|的最小值为a．
（1）求a的值；
（2）若m，n是正实数，且m+n=a，求
1
m
+
2
n
的最小值．
已知数列{an}满足a1=0，an+1=an+2n（n∈N*），那么a2011的值是（　　）
A、2 0112
B、2 012×2 011
C、2 009×2 010
D、2 010×2 011
关于函数f（x）=
x2+ax+a
x
（x≠0），下列说法正确的是
 
．
①函数f（x）有两个极值点x=±
a
；
②函数f（x）的值域为（-∞，-2
a
+a]∪[2
a
+a，+∞）；
③当a≤1时，函数f（x）在[1，+∞）是增函数；
④函数f（x）的图象与x轴有两个公共点的充要条件是a＞4或a＜0．
已知双曲线的中心在原点，实轴A1A2在x轴上，虚轴的一个端点为P．
（1）若实轴长为2，焦距为4，求双曲线的标准方程；
（2）若∠A1PA2为直角，求双曲线的离心率；
（3）若∠A1PA2为锐角，求双曲线离心率的范围．
证明：-
2
≤sinα+cosα≤
2
．
函数f（x）=3sin（2x+
π
6
）的部分图象如图所示．
（1）写出f（x）的最小正周期及图中x0、y0的值；
（2）求f（x）在区间[
π
12
，
π
2
]上的最大值和最小值．
一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数的和大于2n”，则算过关，则某人连过前三关的概率是（　　）
A、
100
243
B、
50
243
C、
49
243
D、
98
243
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列．
（Ⅰ）角B的大小；
（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积SV=2
3
，求b、c的长及△ABC外接圆半径．

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